高考數學增分分項練習

　　1.已知平面向量a，b滿足|a|=|b|=1，a⊥(a-2b)，則|a+b|等于( )

　　A.0B.

　　C.2D.

　　答案 D

　　解析 ∵a⊥(a-2b)，∴a·(a-2b)=0，

　　∴a·b=a2=，

　　∴|a+b|==

　　==.

　　2.已知向量a，b，其中a=(-1，)，且a⊥(a-3b)，則b在a上的投影為( )

　　A.B.-

　　C.D.-

　　答案 C

　　解析 由a=(-1，)，且a⊥(a-3b)，

　　得a·(a-3b)=0=a2-3a·b=4-3a·b，a·b=，

　　所以b在a上的投影為==，故選C.

　　3.在平面直角坐標系中，已知點A，B分別是x軸，y軸上的一點，且|AB|=1，若點P(1，)，則|++|的取值范圍是( )

　　A.[5,6]B.[6,7]

　　C.[6,9]D.[5,7]

　　答案 D

　　解析 設A(cosθ，0)，B(0，sinθ)，

　　則++=(3-cosθ，3-sinθ)，

　　|++|2=(3-cosθ)2+(3-sinθ)2

　　=37-6(cosθ+sinθ)=37-12sin(θ+)，

　　即可求得范圍是[5,7].

　　4.已知向量a=(1，x)，b=(-1，x)，若2a-b與b垂直，則|a|等于( )

　　A.B.

　　C.2D.4

　　答案 C

　　解析 a=(1，x)，b=(-1，x)，

　　∴2a-b=2(1，x)-(-1，x)=(3，x)，

　　由(2a-b)⊥b3×(-1)+x2=0，

　　解得x=-或x=，

　　∴a=(1，-)或a=(1，)，

　　∴|a|==2或|a|==2.

　　故選C.

　　5.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=，=2，點F在邊CD上，若·=3，則·的值為( )

　　A.4B.

　　C.0D.-4

　　答案 D

　　解析 如圖所示，=2BE=BC=，

　　·=3AFcos∠BAF=1DF=1，

　　以點A為原點建立平面直角坐標系，AD所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，則B(0,3)，F(，1)，E(，3)，

　　因此=(，-2)，·=×-2×3=2-6=-4.

　　6.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n (m，n∈R)，則等于( )

　　A.-3B.-

　　C.D.3

　　答案 A

　　解析 如圖，作AE∥DC，交BC于點E，則ADCE為平行四邊形，==m+n，

　　又=+=-，

　　所以故=-3.

　　7.在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且MN=，則·的取值范圍為( )

　　A.[3,6]B.[4,6]

　　C.[2，] D.[2,4]

　　答案 B

　　解析 以點C為坐標原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，

　　則A(3,0)，B(0,3)，

　　∴AB所在直線的方程為：+=1，

　　則y=3-x.

　　設N(a,3-a)，M(b,3-b)，

　　且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨設a>b，

　　∵MN=，∴(a-b)2+(b-a)2=2，

　　∴a-b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，

　　∴·=(b,3-b)·(a,3-a)

　　=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3)

　　=2(b-1)2+4,0≤b≤2，

　　∴當b=0或b=2時有最大值6;

　　當b=1時有最小值4.

　　∴·的取值范圍為[4,6]，故選B.

　　8.△ABC的三內角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設向量n=(a+c，sinB-sinA)，m=(a+b，sinC)，若m∥n，則角B的大小為( )

　　A.B.

　　C. D.

　　答案 B

　　解析 若m∥n，則(a+b)(sinB-sinA)-sinC(a+c)=0，

　　由正弦定理可得：(a+b)(b-a)-c(a+c)=0，

　　化為a2+c2-b2=-ac，

　　∴cosB==-.

　　∵B∈(0，π)，∴B=，故選B.

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