關于復變函數論第四版第三章的練習
復變函數論 第三章 練習題 2014-04-14 復積分是研究解析函數的一個重要工具. 柯西積分定理及柯西積分公式尤其重要，是復變函數論的基本定理和基本公式。由柯西定理可導出解析函數的一系列重要結果，諸如柯西積分公式、柯西不等式、唯一性定理和最大模原理等。特別地，有解析函數有連續導數以及任意階導數. 直到20世紀中期，這兩個結果才分別由R.L.Plunkett(Bull.Amer.Math.Soc.65, 1959)及E.H.Conell and P.Porcelli(Bull.Amer.Math.Soc.67,1961)不用柯西定理，而用拓撲方法做出證明。作為柯西積分定理的推廣，則由應用廣泛的留數基本定理，代數學基本定理就是留數定理的一個簡單推論，應用它還可以計算一些較復雜的實定積分。
一、柯西積分定理的理解
1.設函數f(z)在區域D內解析，那么這個函數沿D內任意閉路線積分是否都為零？為什么？
2.對什么樣的周線C, 有?C1dz?0. 2z?z?1
3.設函數f(z)在0?|z|?1內解析，且沿任何圓周C:|z|?r,0?r?1的'積分值為零。問f(z)是否必須在z?0處解析？試舉例說明之？
4.設函數f(z)在單連通區域D內解析，且在D內的閉曲線C上滿足|f(z)?1|?1.證明：?Cf?(z)dz?0. f(z)
二、利用柯西定理、柯西公式、不定積分（原函數）和路徑無關性等計算積分
1.計算下列積分：
（1）?
?Cdz,C:|z|?3； 2z(z?1)sinz,C:|z?2i|?2；（3）?(|z|?z),C:|z|?1 ； Cz2?9（2）
(4) C?C(|z|?ezsinz)dz,C:|z|?a?0;
*（5）dz?C(z?2)(z?4)(z?6)(z?100),C:|z|?99。
2.沿從1到?
1的如下路徑求?. （1）上半單位圓周；（2）下半單位圓周，
取沿負實軸割開平面的主值支。
3.設函數f(z)在|z|?1內解析，在閉圓|z|?1上連續，且f(0)?1,求積分
11dz[2?(z?)]f(z)之值. 2?i?|z|?1zz
1z?adz1(|a|?R),4.通過計算積分求證2?i?|z|?Rz?az2??2?
0R2?|a|2d ?1. i 2|Re?a|
三、柯西定理、柯西公式、積分估值、柯西不等式等定理在命題證明中的應用
1. 設f(z)在周線C所圍的區域D上解析，在D+C上連續，則對任意z?D,有|f(z)|?M,其中M?max|f(z)|，從而求|ez|在|z|?1上的最大值。 z?C
2.設a,b為實數，s???it(??0),證明不等式|ebs?eas|?|s||b?a|emax{a,b}?.
3.若函數f(z)在區域D內解析，C為D內以a,b為端點的直線段。試證：存在數?,|?|?1,與??C使得f(a)?f(b)??(b?a)f?(?).
4.如果在|z?|1函數內f(z)解析，且|fz(?1
1?z|| .證：試
1|f(n)(0)|?(n?1)!(1?)n?e(n?1)!,(n?1,2,). n
5. 如果函數f(z)在|z|?1內解析，在|z|?1上函數值f(ei ?)a?co ?si sin?, ?0?a?2試求這個函數,1. ,2a?2ac o?s1
6*.（含無窮遠點的柯西積分公式）設函數f(z)在簡單閉曲線C的外部區域D解析，在D+C上連續，且有limf(z)?A.證明：z????f(z)?A,z?D?E(C),1f(?) dz??A,z?I(C)2?i?C??z?
22四、關于調和函數和解析函數 1.設w?u?iv是z的解析函數，且u?(x?y)(x?4xy?y). 求v.
px2.設u(x,y)?esiny,而f(z)?u?iv為一解析函數，試求p的值與f(z).
3.確定形如u?f()的所有調和函數。
4.若調和函數u(x,y)的自變量替換成x?x(?,?),y?y(?,?)其中y(?,?)為x?x(?,?)的共軛調和函數，試證明替換后的函數仍然是調和函數。 yx
【關于復變函數論第四版第三章的練習】相關文章：
3.實變函數論_文章