關(guān)于復(fù)變函數(shù)論第四版第三章的練習
復(fù)變函數(shù)論 第三章 練習題 2014-04-14 復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具. 柯西積分定理及柯西積分公式尤其重要，是復(fù)變函數(shù)論的基本定理和基本公式。由柯西定理可導(dǎo)出解析函數(shù)的一系列重要結(jié)果，諸如柯西積分公式、柯西不等式、唯一性定理和最大模原理等。特別地，有解析函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及任意階導(dǎo)數(shù). 直到20世紀中期，這兩個結(jié)果才分別由R.L.Plunkett(Bull.Amer.Math.Soc.65, 1959)及E.H.Conell and P.Porcelli(Bull.Amer.Math.Soc.67,1961)不用柯西定理，而用拓撲方法做出證明。作為柯西積分定理的推廣，則由應(yīng)用廣泛的留數(shù)基本定理，代數(shù)學基本定理就是留數(shù)定理的一個簡單推論，應(yīng)用它還可以計算一些較復(fù)雜的實定積分。
一、柯西積分定理的理解
1.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么這個函數(shù)沿D內(nèi)任意閉路線積分是否都為零？為什么？
2.對什么樣的周線C, 有?C1dz?0. 2z?z?1
3.設(shè)函數(shù)f(z)在0?|z|?1內(nèi)解析，且沿任何圓周C:|z|?r,0?r?1的'積分值為零。問f(z)是否必須在z?0處解析？試舉例說明之？
4.設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)的閉曲線C上滿足|f(z)?1|?1.證明：?Cf?(z)dz?0. f(z)
二、利用柯西定理、柯西公式、不定積分（原函數(shù)）和路徑無關(guān)性等計算積分
1.計算下列積分：
（1）?
?Cdz,C:|z|?3； 2z(z?1)sinz,C:|z?2i|?2；（3）?(|z|?z),C:|z|?1 ； Cz2?9（2）
(4) C?C(|z|?ezsinz)dz,C:|z|?a?0;
*（5）dz?C(z?2)(z?4)(z?6)(z?100),C:|z|?99。
2.沿從1到?
1的如下路徑求?. （1）上半單位圓周；（2）下半單位圓周，
取沿負實軸割開平面的主值支。
3.設(shè)函數(shù)f(z)在|z|?1內(nèi)解析，在閉圓|z|?1上連續(xù)，且f(0)?1,求積分
11dz[2?(z?)]f(z)之值. 2?i?|z|?1zz
1z?adz1(|a|?R),4.通過計算積分求證2?i?|z|?Rz?az2??2?
0R2?|a|2d ?1. i 2|Re?a|
三、柯西定理、柯西公式、積分估值、柯西不等式等定理在命題證明中的應(yīng)用
1. 設(shè)f(z)在周線C所圍的區(qū)域D上解析，在D+C上連續(xù)，則對任意z?D,有|f(z)|?M,其中M?max|f(z)|，從而求|ez|在|z|?1上的最大值。 z?C
2.設(shè)a,b為實數(shù)，s???it(??0),證明不等式|ebs?eas|?|s||b?a|emax{a,b}?.
3.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)以a,b為端點的直線段。試證：存在數(shù)?,|?|?1,與??C使得f(a)?f(b)??(b?a)f?(?).
4.如果在|z?|1函數(shù)內(nèi)f(z)解析，且|fz(?1
1?z|| .證：試
1|f(n)(0)|?(n?1)!(1?)n?e(n?1)!,(n?1,2,). n
5. 如果函數(shù)f(z)在|z|?1內(nèi)解析，在|z|?1上函數(shù)值f(ei ?)a?co ?si sin?, ?0?a?2試求這個函數(shù),1. ,2a?2ac o?s1
6*.（含無窮遠點的柯西積分公式）設(shè)函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C的外部區(qū)域D解析，在D+C上連續(xù)，且有l(wèi)imf(z)?A.證明：z????f(z)?A,z?D?E(C),1f(?) dz??A,z?I(C)2?i?C??z?
22四、關(guān)于調(diào)和函數(shù)和解析函數(shù) 1.設(shè)w?u?iv是z的解析函數(shù)，且u?(x?y)(x?4xy?y). 求v.
px2.設(shè)u(x,y)?esiny,而f(z)?u?iv為一解析函數(shù)，試求p的值與f(z).
3.確定形如u?f()的所有調(diào)和函數(shù)。
4.若調(diào)和函數(shù)u(x,y)的自變量替換成x?x(?,?),y?y(?,?)其中y(?,?)為x?x(?,?)的共軛調(diào)和函數(shù)，試證明替換后的函數(shù)仍然是調(diào)和函數(shù)。 yx
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