回文數研究

時間：2016-11-24 11:19:13 原創文學我要投稿

回文數研究

陳宣章

設n是一任意自然數。若將n的各位數字反向排列所得自然數n1與n相等,則稱n為一回文數。例如, 為一回文數;則不是回文數。

自然數中,最小回文數是0,其次為1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99, 101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292, 303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494, 505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696, 707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999。

平方回數定義:一個回文數,它同時還是某一個數的平方。例如:121。

100-1000內的平方回數只有3個:121=112,484=222=4*121,676=262=4*169=4*132。

四位的回文數的特點:決不會是一個質數,能被11整除。證明:設它為abba,即等于a*1000+b*100+b*10+a=1001a+110b=11(91a+10b)。六位的回文數也一樣能被11整除。

借助電子計算機發現:完全平方數、完全立方數中的回文數比例,要比一般自然數中回文數所占的比例大得多。例如11^2=121,22^2=484,7^3=343,11^3=1331,11^4=……都是回文數。但是,人們迄今未能找到自然數(除0和1)的五次方,以及更高次冪的回文數。于是數學家們猜想:不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然數)形式的回文數。

回文數算法:任一自然數倒過來成另一個數(稱為影數),再把兩數相加得一個和數。這種把任一自然數加上其影數的運算,稱為回文數算法,或者合影運算。其和數倒過來得其影數,再把兩數相加得一個和數;照此“合影運算”直到出現一個回文數。如接著算下去,還會得到更多的回文數。這個過程又稱為“196算法”。

合影運算猜想:任一個自然數經有限次合影運算,最后必定能得到一個回文數。但是有些數并不“馴服”。例如:196重復了數十萬次合影運算,仍未得到回文數。但既不能肯定運算下去永遠得不到回文數,也不知需再運算多少步才能最終得到回文數。

利克瑞爾數:像196這種經重復合影運算仍未得到回文數的自然數,稱為利克瑞爾數。最小的利克瑞爾數即196,因而它受到最多的關注。因還不能證明一個數永遠不能形成回文數,所以利克瑞爾數這一命題僅是猜想而非已獲證明;能證明的僅是那些反例,即如果一個數最終能形成回文數,則它是“非利克瑞爾數”。

1938年(電子計算機尚未問世),美國數學家萊默(D.Lehmer,1905-1991)計算到第73步,得到了一個沒有形成回文數的35位的和數。至今挑戰此題的數學愛好者從未間斷過,隨著計算機科技的發展,不斷有人編寫不同的程序對此題發起挑戰。W.V.Landingham在2006年2月已計算到699萬步,得到一個2.89億位以上的和數,其間仍未出現回文數。

另外,關于達到回文數需要計算步數的世界記錄:2005年11月30日,Jason Doucette對一個19位數字1,186,060,307,891,929,990, 用程序經261步合影運算得到回文數。(見附錄,表1,來源于《百度百科?回文數》)

我的研究:

一.一般自然數中回文數所占的比例。

1.一位數0-9:全部是回文數。回文數所占比例10/10=1/1。

2.二位數10-99:∵十位數字A,回文數的個位數字必須為A。∴回文數所占比例1/10。

3.三位數100-999:∵前兩位數字AB,回文數的個位數字必須為A。∴回文數所占比例1/10。

4.四位數1000-9999:∵前兩位數字AB,回文數的后兩位數字必須為BA。∴回文數所占比例1/100。

5.五位數-:∵前三位數字ABC,回文數的后兩位數字必須為BA。∴回文數所占比例1/100。

6.六位數-:∵前三位數字ABC,回文數的后兩位數字必須為CBA。∴回文數所占比例1/1000。

7.七位數-:∵前四位數字ABCD,回文數的后三位數字必須為CBA。∴回文數所占比例1/1000。

……N位數中回文數所占比例M:⑴N為偶數時,M=1/10^n,而n=N/2。⑵N為奇數時,M=1/10^n,而n=(N-1)/2。⑶當N→∞時,M→0。⑷在全部自然數中,回文數所占的'比例為1.……/∞,M→0;而絕大多數是非回文數。

二.合影運算平級數和合影運算升級數。

如果N位數的合影運算之和仍然為N位數,例如:+=,稱為合影運算平級數;如果合影運算之和為(N+1)位數,例如:+=,稱為合影運算升級數。所以,自然數可以分為三個子集:回文數子集,合影運算平級數子集和合影運算升級數子集。

1.因為回文數最重要的問題是合影運算猜想,所以研究重點應該是合影運算升級數子集。只有不斷合影運算升級的數才有可能是利克瑞爾數。

2.合影運算平級數與原來的自然數屬于“等價”,例如:196+691=887,則887與196、691等價。因為887是合影運算升級數,比196、691更有研究價值。當然,假如最后證明887是利克瑞爾數,則788、691、196為更小的利克瑞爾數。它們之間的區別僅是合影運算的次數。

3.可以對兩位數以上(含兩位數)自然數分成每90個數一段進行研究。

例如:在10-99這90個數中,回文數9個:11、22、33、44、55、66、77、88、99;合影運算平級數41個:10、12、13、14、15、16、17、18、20、21、23、24、25、26、27、30、31、32、34、35、36、40、41、42、43、45、50、51、52、53、54、60、61、62、63、70、71、72、80、81、90;合影運算升級數40個:19、28、29、37、38、39、46、47、48、49、56、57、58、59、64、65、67、68、69、73、74、75、76、78、79、82、83、84、85、86、87、89、91、92、93、94、95、96、97、98。

有趣的是:41個合影運算平級數經過一次合影運算都成為回文數。這41個合影運算平級數本身不是合影運算的結果,它們在兩位數中都有等價數,而且都是回文數。

一個自然數常常可以有幾個等價數,例如:66=15+51=24+42=33+33。

40個合影運算升級數又成為20對:19與91;28與82等等。所以只需要研究20對中的較大數:64、65、73、74、75、76、82、83、84、85、86、87、91、92、93、94、95、96、97、98。其特點是十位數子大于個位數字。

其它各種自然數段也可以作類似的研究。

4.等價樹:從某個自然數開始,經過不斷的合影運算,形成一棵等價樹。

例如:196+691→887+788→1675+5761→7436+6347→……直到出現回文數結束。如果一棵等價樹永遠沒有頂,那么等價樹上所有自然數都是利克瑞爾數。如果一棵等價樹出現了頂(即回文數),那么等價樹上所有自然數都是非利克瑞爾數。

三.利克瑞爾數與非利克瑞爾數。

兩者的區別在于最終能不能得到回文數,也就是等價樹上升有沒有頂點。根據一般自然數中回文數所占的比例的規律,自然數位數越大,回文數所占的比例越小,所以,我認為:一個數永遠不能形成回文數的可能性極大。

四.表1列舉的“代表性數字”,其實應該還有其“影數”,例如:2位數的98。

附錄:表1列舉的是各位數字中,到達“回文數”花費步數最多的代表性數字。

2016.11.21.

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