關(guān)于逆向思維來(lái)想問(wèn)題的文章
[關(guān)鍵詞]逆向思維
逆向思維是一種創(chuàng)造性思維。逆向思維是相對(duì)正向思維而言，它是與人們常規(guī)思維程序相反的，不是從原因(或條件)來(lái)推知結(jié)果(或結(jié)論)，而是從相反方向展開(kāi)思路，分析問(wèn)題，而得出的結(jié)論。
由于數(shù)學(xué)定義，公式都有可逆性，不少數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及解題過(guò)程也有可逆性，所有這些可逆性理論為逆向思維提供了理論依據(jù)。因此，在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，應(yīng)擺脫思維定勢(shì)的束縛，打破常規(guī)，從問(wèn)題的反面入手，這樣常能由“山窮水盡”進(jìn)入“柳暗花明”。本文從以下幾個(gè)方面說(shuō)明如何應(yīng)用“逆向思維”巧解數(shù)學(xué)題。
1利用公式的可逆性，使難題迎刃而解
善于將數(shù)學(xué)公式從右到左熟練地逆向運(yùn)用，是對(duì)公式真正理解程度掌握的重要標(biāo)志。當(dāng)解題思路受阻，出現(xiàn)思維障礙時(shí)，如能靈活地將公式逆向運(yùn)用，能使解題豁然開(kāi)朗。
例1、求的值
分析：若按習(xí)慣正用公式，極易想到對(duì)進(jìn)行積化和差，得，但由于沒(méi)有出現(xiàn)特殊角，無(wú)法求出其值，此時(shí)如再利用倍角公式展開(kāi)，仍然不能奏效，若聯(lián)想到二倍角公式的可逆性，逆向運(yùn)用二倍角公式，本題可順利獲解。
解：
2借助數(shù)學(xué)運(yùn)算的可逆性，逆向探求解題途徑
數(shù)學(xué)中的許多運(yùn)算都是可逆的，例如加法與減法，乘法與除法，乘方與開(kāi)方，指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算，三角運(yùn)算與反三角運(yùn)算等等。在同一級(jí)運(yùn)算中，一種運(yùn)算的逆運(yùn)算都是由它的正運(yùn)算引出的，解題時(shí)，注意借助數(shù)學(xué)運(yùn)算的.可逆性，學(xué)會(huì)逆向運(yùn)算法則，可以有效地培養(yǎng)運(yùn)算能力，提高解題速度。
例2、已知、、為正數(shù)，且，求證：。
分析：觀察條件等式的左邊，逆向聯(lián)想到是反正弦值。可以把條件等式轉(zhuǎn)換成正弦來(lái)解答，所以可證。
證明：設(shè),，，則，，,即求：。
即
3利用“正難則反”的原則，使解題思路豁然開(kāi)朗
解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，若正面情況比較復(fù)雜，或從正面無(wú)法入手時(shí)，則必須快速轉(zhuǎn)向，采取順?lè)眲t逆，正難則反的策略。
例3、若下列三個(gè)方程：，，，至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)的取值范圍。
分析：三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，情況很復(fù)雜，可能有七種情況分別討論，十分復(fù)雜，但從反面入手，只有一種情況，即三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，情況仍為簡(jiǎn)單，由此得以下解法。
解：若三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根，則有
解得，要使三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則的取值范圍為(，,
4把握因果關(guān)系的可逆性，逆向探求解題途徑
數(shù)學(xué)過(guò)程有一定的因果關(guān)系，通常從原因推知結(jié)論，但有時(shí)可反過(guò)來(lái)，從肯定的結(jié)論入手進(jìn)行推理，推出符合條件或易證的命題，并且推理的每一步均可逆，則可證得原命題成立，這種“執(zhí)果索因”的分析方法，便于思考，有益于獲得解題捷徑。
例4、求證：的最小值是
分析：若要證明函數(shù)的最小值是，只需證成立，則移項(xiàng)得，變形為，即，當(dāng)時(shí)，此不等式成立，每一步都可逆推回去。
5利用反證法思想，尋找解題佳徑
數(shù)學(xué)題浩似煙海，如果單純用一種思維方式去思考，有時(shí)會(huì)思路閉塞，陷入困境，若善于從不同角度、不同方向思考問(wèn)題，熟練靈活運(yùn)用反證法，能使一些難題迎刃而解，出奇制勝地解決問(wèn)題。
例5、已知銳角、滿足，求證：。
分析：本題若直接由已知條件證明，確有很大的難度。但若從反面出發(fā)，考慮，與三種可能情況，則間接得證。
證明：(1)假若且、為銳角，則。
，即
。——①
同理，即
。——②
由①+②得，這與已知條件矛盾。
不大于。
(2)假若，則。
同上證法，有且。
，這與已知條件矛盾
不小于。
綜合上述情況，可知成立。
進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，幫助學(xué)生由單向思維向雙向思維發(fā)展，提高解題能力，這仍然需要廣大教師努力去工作。
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