高考數學函數與方程考點及典型例題匯編

　　函數的零點

　　(1)定義：

　　對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．

　　(2)函數的零點與相應方程的根、函數的圖象與x軸交點間的關系：

　　方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．

　　(3)函數零點的判定(零點存在性定理)：

　　如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．

　　典型例題1：

　　2

　　二二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系

　　典型例題2：

　　3

　　三二分法

　　對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

　　1、函數的零點不是點：

　　函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根，也就是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，所以函數的零點是一個數，而不是一個點．在寫函數零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個坐標．

　　2、對函數零點存在的判斷中，必須強調：

　　(1)、f(x)在[a，b]上連續；

　　(2)、f(a)·f(b)<0；

　　(3)、在(a，b)內存在零點．

　　這是零點存在的一個充分條件，但不必要．

　　3、對于定義域內連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．典型例題3：

　　利用函數零點的存在性定理判斷零點所在的區間時，首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續不斷，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．

　　4

　　四判斷函數零點個數的常用方法

　　1、解方程法：

　　令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．

　　2、零點存在性定理法：

　　利用定理不僅要判斷函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點．

　　3、數形結合法：

　　轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題．先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數．

　　典型例題4：

　　已知函數有零點(方程有根)求參數取值常用的方法

　　1、直接法：

　　直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．

　　2、分離參數法：

　　先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決．

　　3、數形結合法：

　　先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．

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