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高考數(shù)學(xué)函數(shù)與方程實(shí)際應(yīng)用教學(xué)
專題一：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
第三講 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【最新考綱透析】
1．函數(shù)與方程
（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)。
（2）根據(jù) 具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解。
2．函數(shù)模型及其應(yīng)用
�。�1）了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。
（2）了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向一：函數(shù)零點(diǎn)問題
考情聚焦：1.函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)的新增內(nèi)容,其實(shí)質(zhì)是相應(yīng)方程的根,而方程是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容, 因而函數(shù)的零點(diǎn)亦成為新課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn).
2.常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)等知識(shí)交匯命題，多以選擇、填空題的形式考查。
考向鏈接：1.函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的確定問題，常見的類型有（1）零點(diǎn)或零點(diǎn)存在區(qū)間的確定；（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；（3）兩函數(shù)圖象交戰(zhàn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定；解決這類問題的常用方法有：解方 程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是那些方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解。
2．函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的應(yīng)用問題，即已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，解決該類問題關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ7）函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【命題立意】本題從分段函數(shù)的角度出發(fā)，考查了學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的掌握程度。
【思路點(diǎn)撥】作出分段函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解題。
【規(guī)范解答】選C， ，繪制出圖像大致如右圖，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。
【方法技巧】本題也可以采用分類討論的方法進(jìn)行求解。
令 ，則
�。�1）當(dāng) 時(shí)， ， 或 （舍去）；
�。�2）當(dāng) 時(shí)， ，
綜上述：函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)。
要點(diǎn)考向二：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值
考情聚焦：1.該考向雖然在近幾年新課標(biāo)高考中從未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新課標(biāo)新增內(nèi)容,預(yù)計(jì)在今后的新課標(biāo)高考中可能會(huì)成為新的亮點(diǎn).
2.該類問題常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)交匯命題，考查學(xué)生的探究和計(jì)算能力。
考向鏈接：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
�。�1）確定區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)?f(b)<0,給定精確度 ；（2）求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn) ；（3）計(jì)算f( );
①當(dāng)f( )=0,則 就是函數(shù)的零點(diǎn)；
�、谌鬴(a)?f( )<0,則令b= (此時(shí)零點(diǎn) )，
③若f( )?f(b)<0,則令a= (此時(shí)零點(diǎn) )。
(4)判斷是否達(dá)到其精確度 ，則得零點(diǎn)近似值，否則重復(fù)以上步驟。
例2：已知函數(shù)
�。�1）求證函數(shù) 在區(qū)間[0，1]上存在惟一的極值點(diǎn)。
�。�2）用二分尖求函數(shù)取得極值時(shí)相應(yīng) 的近似值。（誤差不超過0.2;參數(shù)數(shù)據(jù) ）
【思路解析】求導(dǎo)數(shù)→ → 在[0,1]上單調(diào)→得出結(jié)論→取初始區(qū)間→用二分法逐次計(jì)算→得到符合誤差的近似值.
【解答】
�。�2）取區(qū)間 [0，1]作為起始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算如下：
區(qū)間中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)值取值區(qū)間
[0，1]1
[0，0.5]0.5
[0.25,0.5]0.25
由上表可知區(qū)間[0.25,0.5]的長度為0.25,所以該區(qū)間的中點(diǎn) ,到區(qū)間端點(diǎn)距離小于0.2,因此可作為誤差不超過0.2的一個(gè)極值點(diǎn)的相應(yīng) 的值.
函數(shù) 取得極值時(shí),相應(yīng)
要點(diǎn)考向二：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考情聚焦：1.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用歷年來一直是高考的熱點(diǎn)，考查現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題，如生產(chǎn)經(jīng)營，環(huán)境保護(hù)，工程建設(shè)等相關(guān)的增長率、最優(yōu)化問題。
2．常用導(dǎo)數(shù)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等重要知識(shí)求解。
例3：（2010?湖北高考理科?Ｔ17）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂 和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度 （單位：cm）滿足關(guān)系： ，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè) 為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
（Ⅰ）求 的值及 的表達(dá)式；
�。á颍└魺釋有藿ǘ嗪駮r(shí)，總費(fèi)用 達(dá)到最小，并求最小值．
【命題立意】本題主要考查由實(shí)際問題求函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，考查考生的閱讀理解及運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】 的表達(dá)式 的最小值
【規(guī)范解答】（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度 cm，由題意建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為 ，再由 得 ，故 ；又 厘米厚的隔熱層建造費(fèi)用為 ，所以由題意 = + = + 。
（Ⅱ） ，令 0
得 （舍去），當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，故 時(shí) 取得最小值，且最小值 = =70
.因此當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，且最小值為70萬元。
【方法技巧】解 函數(shù)應(yīng)用題的第一關(guān)是：正確理解題意，將實(shí)際問題的要求轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，找出函數(shù)關(guān)系式，注明函數(shù)定義域；第二關(guān)是：針對(duì)列出的函數(shù)解析式按題目要求，選擇正確的數(shù)學(xué)思想將其作為一個(gè)純數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答。
【高考真題探究】
1．（2010上海文數(shù)）17.若 是方程式 的解，則 屬于區(qū)間 [答]（ ）
�。ˋ）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解析：
知 屬于區(qū)間（1.75，2）
2．（2010天津理數(shù)）（2）函數(shù)f(x)= 的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題。
由 及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）上。
【溫馨提示】函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號(hào)相反，這類選擇題通常采用代入排除的方法求解。
3．（2010福建文數(shù)）21．(本小題滿分12分)
某港口 要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口 北偏西30°且與該港口相距20海里的 處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以 海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 小時(shí)與輪船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
(Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。
21.本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
解法一：
設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，則
于是
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于方程 應(yīng)有兩個(gè)不等正根，即：
解法二：
�。↖）若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较�。設(shè)小艇與輪船在C處相遇。
則在Rt?OAC中，OC=20cos300=10- ,AC=30t,OC=vt.此時(shí)，輪船航行時(shí)間t= , 。即，小艇以30 海里/小時(shí)的速度航行時(shí)，相遇時(shí)小船的航行距離最小。
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1. 若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一個(gè)近似根（精確度0.1)為( )
(A)1.25(B)1.375(C)1.437 5 (D)1.5
2．對(duì)于函數(shù)f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)內(nèi)( )
(A)一定有零點(diǎn)
(B)一定沒有零點(diǎn)
(C)可能有兩個(gè)零點(diǎn)
(D)至多有一個(gè)零點(diǎn)
3．如圖，A、B、C、D是某煤礦的四個(gè)采煤點(diǎn)，l為公路，圖中所示線段為道路，ABQP，BCRQ，CDSR近似于正方形，已知A，B，C，D四個(gè)采煤點(diǎn)每天的采煤量之比約為3∶2∶1∶5,運(yùn)煤的費(fèi)用與運(yùn)煤的路程、所運(yùn)煤的重量都成正比.現(xiàn)要從P，Q，R，S中選出一處設(shè)立一個(gè)運(yùn)煤中轉(zhuǎn)站，使四個(gè)采煤點(diǎn)的煤運(yùn)到中轉(zhuǎn)站的費(fèi)用最少，則地點(diǎn)應(yīng)選在( )
(A)P(B)Q(C)R(D)S
4． 已知函數(shù)
若方程f(x)=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
(A)（-∞，0］ (B)(-∞,1)
(C)［0,1］ (D)［0,+∞)
5．若x1滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x-1)=5,則x1+x2=( )
（A） （B）3 （C） （D）4
6．已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙（如圖所示）.那么對(duì)于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是( )
(A)在t1時(shí)刻，甲車在乙車前面
(B)t1時(shí)刻后，甲車在乙車后面
(C)在t0時(shí)刻，兩車的位置相同
(D)t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.為緩解南方部分地區(qū)電力用煤緊張的局面，某運(yùn)輸公司提出五種運(yùn)輸方案，據(jù)預(yù)測(cè)，這五種方案均能在規(guī)定時(shí)間T完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)煤總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如下圖所示.在這五種方案中，運(yùn)煤效率（單位時(shí)間的運(yùn)煤量）逐步提高的是_________.（填寫所有正確的圖象的編號(hào)）
8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一個(gè)近似解時(shí)，已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為______.
9.關(guān)于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ］上有解，則a的取值范圍為_____.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知函數(shù)f(x)=4x+m?2x+1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求出零點(diǎn).
11.某電腦生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一品牌筆記本電腦的投入成本是4 500元/臺(tái).當(dāng)筆記本電腦銷售價(jià)為6 000元/臺(tái)時(shí)，月銷售量為a臺(tái);根據(jù)市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價(jià)提高的百分率為x(0<x<1)，那么月銷售量減少的百分率為x2.記銷售價(jià)提高的百分率為x時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤是y(元).
�。�1）寫出月利潤y(元)與x的函數(shù)關(guān)系式；
�。�2）試確定筆記本電腦的銷售價(jià)，使得電腦企業(yè)的月利潤最大.
12.已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在區(qū)間［-1,4］上的最大值是12.
�。�1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程f(x)+ =0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.
參考答案
1．【解析】選C.根據(jù)題意知函數(shù)的零點(diǎn)在
1.406 25至1.437 5之間，
因?yàn)榇藭r(shí)1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.1，故方程的一個(gè)近似根可以是1.437 5.
2．【解析】選C.由于f(a)>0,f(b)>0，且拋物線開口向上，所以可能有兩個(gè)零點(diǎn).
3．【解析】選C.設(shè)正方形邊長為a，采煤量比例系數(shù)為x，費(fèi)用比例系數(shù)為k,對(duì)于A，中轉(zhuǎn)站選在P點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用y1=3kxa+4kxa+3kxa
+20kxa=30kxa;對(duì)于B，中轉(zhuǎn)站選在Q點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用y2=6kxa+2kxa+
2kxa+15kxa=25kxa;對(duì)于C，中轉(zhuǎn)站選在R點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用y3=9kxa+
4kxa+kxa+10kxa=24kxa;對(duì)于D，中轉(zhuǎn)站選在S點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用
y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa，故選C.
4．【解析】選B.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)和y=x+a的圖象.由圖可知a<1.
5．【解析】選C.∵2x+2x=5?2x=5-2x,
2x+2log2(x-1)=5?2log2(x-1)=5-2x.
∴可抽象出三個(gè)函數(shù)y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐標(biāo)系中分別作出它們的圖象（如圖所示）.
觀察知：
6．【解析】選A.由圖象可知，速度圖象與t軸圍成的面積表示汽車行駛的位移，在t0時(shí)刻，甲車的位移大于乙車的位移，故在t0時(shí)刻甲車應(yīng)在乙車的前面，且t0時(shí)刻兩車速度相同，故C、D不對(duì)，t1時(shí)刻甲車的位移大于乙車的位移，故A對(duì).
7．【解析】由于要求運(yùn)煤效率逐步提高，因此反映到圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率即導(dǎo)數(shù)應(yīng)逐漸增大，而只有②符合.
答案：②
8．【解析】令f(x)=x3-2x-1,
顯然f(1)＜0,f(2)＞0,
又
答案：( ,2)
9．【解析】原方程可化為a=sin2x+sinx-1，方程有解當(dāng)且僅當(dāng)a屬
于函數(shù)y=sin2x+sinx-1的值域時(shí)，而y=sin2x+sinx-1=(sinx+ )2- ,∵x∈(0, ]，∴sinx∈(0,1］.可求得值域?yàn)?-1,1］,即a的取值范圍是(-1,1］.
答案：(-1,1］
10．【解析】由題 知：方程4x+m?2x+1=0只有一個(gè)零點(diǎn).
令2x=t(t>0),
∴方程t2+m?t+1=0只有一個(gè)正根，
∴由圖象可知，
當(dāng)m=-2時(shí)t=1,∴x=0.
∴函數(shù)的零點(diǎn)為x=0.
11．【解析】（1）依題意，銷售價(jià)提高后為6 000(1+x)元/臺(tái)，月銷售量為a(1-x2)臺(tái)，
則y=a(1-x2)［6 000(1+x)-4 500］
即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1).
�。�2)y′= 1500a(-12x2-2x+4)，
令y′=0,得6x2+x-2=0,
解得，x=1/2,x=-2/3(舍去).
當(dāng)0<x<1>0;當(dāng)1/2＜x＜1時(shí)，y’＜0.
答案：(1,+∞)
6.設(shè) 為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)
�。�1）當(dāng) =1時(shí)，求函數(shù) 的極值。
�。�2）若方程 =0有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求 的取值范圍。
�。�2）因?yàn)閒′(x)=x2-2ax+(a2-1)=［x-(a-1)］［x-(a+1)］,所以方程f′(x)=0的兩根為a-1和a+1，
顯然，函數(shù)f(x)在x=a-1處取得極大值，在x=a+1處取得極小值.因?yàn)榉匠蘤(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根，
解得-2故a的取值范圍是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2).
7.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0.
(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；
(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2 009, 2 009］上的根的 個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.
【解析】(1)由已知得f(0)≠0，故f(x)不是奇函數(shù)，
又f(-1)=f(5)≠0,故y軸不是函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸，即f(x)不是偶函數(shù).
綜上知，函數(shù)y=f(x)既不是奇 函數(shù)又不是偶函數(shù).
又f(3)=f(1)=0,
∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.
故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有2個(gè)根，從而可知函數(shù)y=f(x)在［0,2 000］上有400個(gè)根，在［2 000,2 009］上有2個(gè)根，在［-2 000,0］上有400個(gè)根，在［-2 009,-2 000］上有2個(gè)根.
所以函數(shù)y=f(x)在［-2 009,2 009］上有804個(gè)根.
2016屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算復(fù)習(xí)教案
導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：
理解導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和曲線在一點(diǎn)處的切線方程．
二．知識(shí)要點(diǎn)：
1．導(dǎo)數(shù)的概念： ；
2．求導(dǎo)數(shù)的步驟是
3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是 ．
三．前預(yù)習(xí)：
1．函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是 （ ）
2．已知函數(shù) 的解析式可 （ ）
3．曲線 上兩點(diǎn) ，若曲線上一點(diǎn) 處的切線恰好平行于弦 ，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 （ ）
4．若函數(shù) 的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù) 的圖象是（ ）
5．已知曲線 在 處的切線的傾斜角為 ，則 ， ．
6．曲線 與 在交點(diǎn)處的切線的夾角是 ．
四．例題分析：
例1．（1）設(shè)函數(shù) ，求 ；
�。�2）設(shè)函數(shù) ，若 ，求 的值．
�。�3）設(shè)函數(shù) ，求 ．
解：（1） ，∴
（2）∵ ，∴
由 得： ，解得： 或
�。�3）
例2．物體在地球上作自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，下落距離 其中 為經(jīng)歷的時(shí)間， ，若 ，則下列說法正確的是（ ）
（A）0～1s時(shí)間段內(nèi)的速率為
（B）在1～1+△ts時(shí)間段內(nèi)的速率為
�。–）在1s末的速率為
�。―）若△t＞0，則 是1～1+△ts時(shí)段的速率；
若△t＜0，則 是1+△ts～1時(shí)段的速率．
小結(jié)：本例旨在強(qiáng)化對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解， 中的△t可正可負(fù)
例3．（1）曲線 ： 在 點(diǎn)處的切線為 在 點(diǎn)處的切線為 ，求曲線 的方程；
�。�2）求曲線 的過點(diǎn) 的切線方程．
解：（1）已知兩點(diǎn)均在曲線C上. ∴
∴ ， 可求出
∴曲線 ：
�。�2）設(shè)切點(diǎn)為 ，則斜率 ，過切點(diǎn)的切線方程為：
，∵過點(diǎn) ，∴
解得： 或 ，當(dāng) 時(shí)，切點(diǎn)為 ，切線方程為：
當(dāng) 時(shí)，切點(diǎn)為 ，切線方程為：
例4．設(shè)函數(shù) (1)證明：當(dāng) 且 時(shí)， ；
(2)點(diǎn) （0<x0<1）在曲線 上，求曲線上在點(diǎn) 處的切線與 軸， 軸正向所圍成的三角形面積的表達(dá)式．（用 表示）
解：（1）∵ ，∴ ，兩邊平方得：
即： ，∵ ，∴ ，∴
（2）當(dāng) 時(shí)， ，
曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為： ，即：
∴切線與與 軸， 軸正向的交點(diǎn)為
∴所求三角形的面積為
例5．求函數(shù) 圖象上的點(diǎn)到直線 的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).
解：首先由 得 知，兩曲線無交點(diǎn).
，要與已知直線平行，須 ，
故切點(diǎn)：（0 , －2）. .
五．后作業(yè)： 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名
1．曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為（）
2．已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為 ，則該質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)的瞬時(shí)速度為 （ ）
120 80 50
3．設(shè)點(diǎn) 是曲線 上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) 處切線的傾斜角為 ，則角 的取值范圍是 （ ）
4．若 ，則
5．設(shè)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ，且 ，則
已知曲線
�。�1）求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；（2）求過點(diǎn) 并與曲線 相切的直線方程．
7.設(shè)曲線 ： ， 在哪一點(diǎn)處的切線斜率最�。吭O(shè)此點(diǎn)為
求證：曲線 關(guān)于 點(diǎn)中心對(duì)稱.
8.已知函數(shù) . 若 ，且 ， ，求 ．
9..曲線 上有一點(diǎn) ，它的坐標(biāo)均為整數(shù)，且過 點(diǎn)的切線斜率為正數(shù)，求此點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)的切線方程.
10.已知函數(shù) 的圖像過點(diǎn) .過 點(diǎn)的切線與圖象僅 點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)，又知切線斜率的最小值為2，求 的解析式.
2016屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案
高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；
(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的導(dǎo)數(shù)；
(2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).
3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；
(2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
4.生活中的優(yōu)化問題
會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.
5.定積分與微積分基本定理
(1)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；
(2)了解微積分基本定理的含義.本章重點(diǎn)：
1.導(dǎo)數(shù)的概念；
2.利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率；
3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；
4.利用導(dǎo)數(shù)求極值或最值；
5.利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題最優(yōu)解.
本章難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 導(dǎo)數(shù)與定積分是微積分的核心概念之一，也是中學(xué)選學(xué)內(nèi)容中較為重要的知識(shí)之一.由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決有關(guān)函數(shù)、數(shù)列問題提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知識(shí)在高考題中常在函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)最值不等式問題中有所體現(xiàn)，既考查數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，也考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式來考查導(dǎo)數(shù)與定積分的基本運(yùn)算與簡單的幾何意義，而以解答 題的形式來綜合考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
3 .1 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算
典例精析
題型一 導(dǎo)數(shù) 的概念
【例1】 已知函數(shù)f(x)＝2ln 3x＋8x，
求 f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.
【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知：
f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.
【點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率，即求當(dāng)Δx→0時(shí)， 平均變化率ΔyΔx的極限.
【變式訓(xùn)練1】某市在一次降雨過程中，降雨量y(mm)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為f(t)＝t2100，則在時(shí)刻t＝10 min的降雨強(qiáng)度為( )
A.15 mm/minB.14 mm/min
C.12 mm/minD.1 mm/min
【解析】選A.
題型二 求導(dǎo)函數(shù)
【例2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
(3)y＝3x1－x.
【解析】運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則.
(1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
�。�2(x2－x＋2)e2x.
(3)y′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2
�。�13(x1－x 1(1－x)2
＝13x (1－x)
【變式訓(xùn)練2】如下圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝ ； f(1＋Δx)－f(1)Δx＝ (用數(shù)字作答).
【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由導(dǎo)數(shù)定義 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
題型三 利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率
【例3】 已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x， 直線l：y＝kx，且l與C切于點(diǎn)P(x0，y0) (x0≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】由l過原點(diǎn)，知k＝y(tǒng)0x0 (x0≠0)，又點(diǎn)P(x0，y0) 在曲線C上，y0＝x30－3x20＋2x0，
所以 y0x0＝x20－3x0＋2.
而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.
又 k＝y(tǒng)0x0，
所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，
解得x0＝32.
所以y0＝－38，所以k＝y(tǒng)0x0＝－14，
所以直線l的方程為y＝－14x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(32，－38).
【點(diǎn)撥】利用切點(diǎn)在曲線上，又曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)來列方程，即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo).
【變式訓(xùn)練3】若函數(shù)y＝x3－3x＋4的切線經(jīng)過點(diǎn)(－2，2)，求此切線方程.
【解析】設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則由
y′＝3x2－3得切線的斜率為k＝3x20－3.
所以函數(shù)y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(3x20－3)(x－x0).
又切線經(jīng)過點(diǎn)(－2,2)，得
2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①
而切點(diǎn)在曲線上，得y0＝x30－3x0＋4， ②
由①②解得x0＝1或x0＝－2.
則切線方程為y＝2 或 9x－y＋20＝0.
總結(jié)提高
1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)通常有以下兩種求法：
(1) 導(dǎo)數(shù)的定義，即求 ΔyΔx＝ f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；
(2)先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再將x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的幾種方法：
(1)利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；
(2)利用四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式；
(3)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.
3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是函數(shù)y＝f(x)的曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率.
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)
典例精析
題型一 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定義域是(1，＋∞).
f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，
�、偃鬭≤0，則a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞).
�、谌鬭＞0，則a＋22＞1，
故當(dāng)x∈(1，a＋22]時(shí)，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；
當(dāng)x∈[a＋22，＋∞)時(shí)，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，
所以a＞0時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(1，a＋22]，f(x)的增區(qū)間為[a＋22，＋∞).
【點(diǎn)撥】在定義域x＞1下，為了判定f′(x)符號(hào)，必須討論實(shí)數(shù)a＋22與0及1的大小，分類討論是解本題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.
【解析】因?yàn)閒′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，
所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，
即a≤2x＋1x恒成立.
又2x＋1x≥22(當(dāng)且僅當(dāng)x＝22時(shí)，取等號(hào)).
所以a≤22，
故a的取值范圍為(－∞，22].
【點(diǎn)撥】當(dāng)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)時(shí)?f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同樣，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為減函數(shù)時(shí)?f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根據(jù)不等式恒成立的條件來求參數(shù)的取值范圍了.
題型二 求函數(shù)的極值
【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時(shí)取得極值，且f(1)＝－1.
(1)試求常數(shù)a，b，c的值；
(2)試判斷x＝±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，并說明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因?yàn)閤＝±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根.
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. ③
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，
所以當(dāng)f′(x)＝32x2－32＞0時(shí)，有x＜－1或x＞1；
當(dāng)f′(x)＝32x2－32＜0時(shí)，有－1＜x＜1.
所以函數(shù)f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,1)上是減函數(shù).
所以當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－1)＝1；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1.
【點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值應(yīng)先求導(dǎo)數(shù).對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)f(x)來講， f(x)在點(diǎn)x＝x0處取極值的必要條件是f′(x)＝0.但是， 當(dāng)x0滿足f′(x0)＝0時(shí)， f(x)在點(diǎn)x＝x0處卻未必取得極 值，只有在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)，x0才是f(x)的極值點(diǎn).并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值.
【變式訓(xùn)練2】定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，則有( )
A. f(x1)＜f(x2)B. f(x1)＞f(x2)
C. f(x1)＝f(x2)D.不確定
【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝32對(duì)稱.又因?yàn)?x－32)f′(x)＜0，所以當(dāng)x＞32時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＜32時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x1＋x22＝32時(shí)，f(x1)＝f(x2)，因?yàn)閤1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相當(dāng)于x1，x2的中點(diǎn)向右偏離對(duì)稱軸，所以f(x1)＞f(x2).故選B.
題型三 求函數(shù)的最值
【例3】 求函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－14x2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化簡為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.
又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，同理， 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14為函數(shù)f(x)的極大值.又因?yàn)閒(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值.
【點(diǎn)撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間[a，b]上的最值，首先需求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值，然后，將f(x)的各個(gè)極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，才能得出函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值.
【變式訓(xùn)練3】(2008江蘇)f(x)＝ax3－3x＋1對(duì)x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝ .
【解析】若x＝0，則無論a為 何值，f(x)≥0恒成立.
當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)≥0可以化為a≥3x2－1x3，
設(shè)g(x)＝3x2－1x3，則g′(x)＝3(1－2x)x4，
x∈(0，12)時(shí)，g′(x)＞0，x∈(12，1]時(shí)，g′(x)＜0.
因此g(x)max＝g(12)＝4，所以a≥4.
當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)≥0可以化為
a≤3x2－1x3，此時(shí)g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，
g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.
綜上可知，a＝4.
總結(jié)提高
1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域D；
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(3)根據(jù)f′(x)＞0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；根據(jù)f′(x)＜0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
2.求函數(shù)極值的步驟是：
(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，確定f(x)在這個(gè)根處取極大值還是取極小值.
3.求函數(shù)最值的步驟是：
先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
3.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)
典例精析
題型一 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【例1】已知函數(shù)f(x)＝12x2＋ln x.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域；
(2)求證：x＞1時(shí)，f(x)＜23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上為增函數(shù).
故f(x)max＝f(e)＝e22＋1，f(x)min＝f(1)＝12，
因而f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域?yàn)閇12，e22＋1].
(2)證明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，則F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，
因?yàn)閤＞1，所以F′(x)＜0，
故F(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù).
又F(1)＝－16＜0，
故x＞1時(shí)，F(xiàn)(x)＜0恒成立，
即f(x)＜23x3.
【點(diǎn)撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.
【變式訓(xùn)練1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時(shí)，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時(shí)( )
A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0
C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0
【解析】選B.
題型二 優(yōu)化問題
【例2】 (2009湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋x)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬元.
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最��？
【解析】(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，
即n＝mx－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
�。�256(mx－1)＋mx(2＋x)x
＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知f′(x)＝－256mx2＋12mx ＝m2x2(x －512).
令f′(x)＝0，得x ＝512.所以x＝64.
當(dāng)0＜x＜64時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64＜x＜640時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).
所以f(x)在x＝64處取得最小值.
此時(shí)n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.
【變式訓(xùn)練2】(2010上海)如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米).
【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，
則由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.
S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.
所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).
令f(r)＝2.4πr－3πr2，則f′(r)＝2 .4π－6πr.
令f′(r)＝0得r＝0.4.所以當(dāng)0＜r＜0.4，f′(r)＞0；
當(dāng)0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.
所以r＝0.4時(shí)S最大，Smax＝1.51.
題型三 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題
【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.
(1)當(dāng)m＝3時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；
(2)已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且α＜β.若對(duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)m＝3時(shí)，f(x)＝13x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.
因?yàn)閒(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，23)，切線的斜率為－3，
則所求的切線方程為y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.
(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).
令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.
當(dāng)x∈(－∞，m－2)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(m－2，m＋2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(m＋2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函數(shù).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)互不 相同的零點(diǎn)0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3mx＋3(m2－4)]，
所以
解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).
當(dāng)m∈(－4，－2)時(shí)，m－2＜m＋2＜0，
所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.
此時(shí)f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去.
當(dāng)m∈(－2,2)時(shí)，m－2＜0＜m＋2，
所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1.
當(dāng)m∈(2,4)時(shí)，0＜m－2＜m＋2，
所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).
綜上可知，m的取值范圍是{－1}.
【變式訓(xùn)練3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[2，e]上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(1a，＋∞)，遞 減區(qū)間為(0，1a)；
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0，＋∞).
(2)[12ln 2，1e).
總結(jié)提高
在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理方程、不等式有關(guān)問題時(shí)，首先應(yīng)熟練地將方程、不等式問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.
3.4 定積分與微積分基本定理
典例精析
題型一 求常見函數(shù)的定積分
【例1】 計(jì)算下列定積分的值.
(1) (x－1)5dx；
(2) (x＋sin x)dx.
【解析】(1)因?yàn)閇16(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以 (x－1)5dx＝ ＝16.
(2)因?yàn)?x22－cos x)′＝x＋sin x，
所以 (x＋sin x)dx＝ ＝π28＋1.
【點(diǎn)撥】(1)一般情況下，只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就能求出定積分的值；
(2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)每個(gè)區(qū)間分段積分，再求和；
(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)后積分；
(4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時(shí)，可用以下結(jié)論：
①若f(x)是偶函數(shù) 時(shí)，則 f(x)dx＝2 f(x)dx；
�、谌鬴(x)是奇函數(shù)時(shí)，則 f(x)dx＝0.
【變式訓(xùn)練1】求 (3x3＋4sin x)dx.
【解析】 (3x3＋4sin x)dx表示直線x＝－5，x＝5，y＝0和曲線 y＝3x3＋4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x軸上方 的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
�。剑�(3x3＋4sin x)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函數(shù)，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝－ (3x3＋4sin x)dx，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝ (3x3＋4sin x)dx＋ (3x3＋4sin x)dx＝0.
題型二 利用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積
【例2】求拋物線y2＝2x與直線y＝4－x所圍成的平面圖形的面積.
【解析】方法一：如圖，
由
得交點(diǎn)A(2,2)，B(8，－4)，
則S＝ [2x－(－2x)]dx＋ [4－x－(－2x)]dx
�。�163＋383＝18.
方法二：S＝ [(4－y)－y22]dy
�。� ＝18.
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征，選擇不同的積分變量，可使計(jì)算簡捷，在以y為積分變量時(shí)，應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤＝φ(y)的形式，同時(shí)，積分上、下限必須對(duì)應(yīng)y的取值.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)k 是一個(gè)正整數(shù)，(1＋xk)k的展開式中x3的系數(shù)為116，則函數(shù)y＝x2與y＝kx－3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為 .
【解析】Tr＋1＝Crk(xk)r，令r＝3，得x3的系數(shù)為C3k1k3＝116，解得k＝4.由 得函數(shù)y＝x2與y＝4x－3的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3.
所以陰影部分的面積為S＝ (4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－ ＝43.
題型三 定積分在物理中的應(yīng)用
【例3】 (1) 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v (t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內(nèi)所走過的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)阻力所做的功.
【解析】(1)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，v(t)≥0，當(dāng)1≤t≤2時(shí)，v(t)≤0，所以前2秒內(nèi)所走過的路程為
s＝ v(t)dt＋ (－v(t))dt
�。� (1－t2)dt＋ (t2－1)dt
= ＋ ＝2.
2秒末所在的位置為
x1＝x0＋ v(t)dt＝1＋ (1－t2)dt＝13.
所以它在前2秒內(nèi)所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1＝13.
(2) 物體的速度為v＝(bt3)′＝3bt2.
媒質(zhì)阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k為比例常數(shù)，且k＞0.
當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0；
當(dāng)x＝a時(shí)，t＝t1＝(ab) ，
又ds＝vdt，故阻力所做的功為
W阻＝ ds ＝ kv2?vdt＝k v3dt
�。� k (3bt 2)3dt＝277kb3t71 ＝ 277k3a7b2.
【點(diǎn)撥】定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)注意：v(t)＝ a(t)dt，s(t)＝ v(t)dt和W＝ F(x)dx這三個(gè)公式.
【變式訓(xùn)練3】定義F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函數(shù)f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點(diǎn)A(0，m)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，設(shè)曲線C1在點(diǎn)A，B之間的曲線段與線段OA，OB所圍成圖形的面積為S，求S的值.
【解析】因?yàn)镕(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝ ＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以 解得B(3,6)，
所以S＝ (x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9.
總結(jié)提高
1.定積分的計(jì)算關(guān)鍵是通過逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù).?
2.定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用必須遵循相應(yīng)的物理過程和物理原理.?
3.利用定積分求平面圖形面積的步驟：?
�。�1）畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象；?
（2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；?
�。�3）把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和；?
2016屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)梳理數(shù)列的通項(xiàng)公式復(fù)習(xí)教案
教案64 數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）
一、前檢測(cè)
1．等差數(shù)列 是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為 ，且 成等比數(shù)列， 。求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。
解：設(shè)數(shù)列 公差為
∵ 成等比數(shù)列，∴ ，
即
由①②得： ，
2．已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿足 。求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。
解：由
當(dāng) 時(shí)，有
經(jīng)驗(yàn)證 也滿足上式，所以
二、知識(shí)梳理
（一）數(shù)列的通項(xiàng)公式
一個(gè)數(shù)列{an}的 與 之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個(gè)公式an＝f(n)表示，我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
解讀：
（二）通項(xiàng)公式的求法（7種方法）
1.定義法與觀察法（合情推理：不完全歸納法）：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目；有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項(xiàng)觀察出通項(xiàng)公式。
解讀：
2.公式法：在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為：
(數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為 ).
解讀：
3.周期數(shù)列
解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。
4.由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)
類型1 遞推公式為
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
類型2 （1）遞推公式為
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
�。�2）由 和 確定的遞推數(shù)列 的通項(xiàng)可如下求得：
由已知遞推式有 ， ， ， 依次向前代入，得 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。
類型3 遞推公式為 （其中p，q均為常數(shù)， ）。
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： ，其中 ，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。
三、典型例題分析
題型1 周期數(shù)列
例1 若數(shù)列 滿足 ，若 ，則 =____。答案： 。
變式訓(xùn)練1 （2005，湖南5）已知數(shù)列 滿足 ，則 =（ B ）
A．0 B． C． D．
小結(jié)與拓展：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。
題型2 遞推公式為 ，求通項(xiàng)
例2 已知數(shù)列 ，若滿足 ， ，求 。
答案：
變式訓(xùn)練2 已知數(shù)列 滿足 ， ，求 。
解：由條知：
分別令 ，代入上式得 個(gè)等式累加之，即
所以
小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).
題型3 遞推公式為 ，求通項(xiàng)
例3 已知數(shù)列 滿足 ， ，求 。
解：由條知 ，分別令 ，代入上式得 個(gè)等式累乘之，即
又 ，
變式訓(xùn)練3 已知 ， ，求 。
解：
小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).
題型4 遞推公式為 （其中p，q均為常數(shù)， ），求通項(xiàng)
例4 在數(shù)列 中， ，當(dāng) 時(shí)，有 ，求 的通項(xiàng)公式。
解法1：設(shè) ，即有 ，對(duì)比 ，得 ，于是得 ，數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有 。
解法2：由已知遞推式，得 ，上述兩式相減，得 ，因此，數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以 ，即 ，所以 。
變式訓(xùn)練4 在數(shù)列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),則該數(shù)列的通項(xiàng)an=__2n+1-3___.
小結(jié)與拓展：此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè) ，展開整理 ，比較系數(shù)有 ，所以 ，所以 是等比數(shù)列，公比為 ，首項(xiàng)為 。二是用做差法直接構(gòu)造， ， ，兩式相減有 ，所以 是公比為 的等比數(shù)列。也可用“歸納—猜想—證明”法求，這也是近年高考考得很多的一種題型.
四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
總結(jié)方法比做題更重要!方法產(chǎn)生于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中.
壓軸題放縮法技巧全總結(jié)
高考數(shù)學(xué)備考之 放縮技巧
證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：
一、裂項(xiàng)放縮
例1.(1)求 的值; (2)求證: .
解析:(1)因?yàn)?,所以
(2)因?yàn)?,所以
技巧積累:(1) (2)
(3)
例2.(1)求證:
(2)求證: (3)求證:
(4) 求證：
解析:(1)因?yàn)?,所以
(2)
(3)先運(yùn)用分式放縮法證明出 ,再結(jié)合 進(jìn)行裂項(xiàng),最后就可以得到答案
(4)首先 ,所以容易經(jīng)過裂項(xiàng)得到
再證 而由均值不等式知道這是顯然成立的，
所以
例3.求證:
解析: 一方面: 因?yàn)?,所以
另一方面:
當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,
當(dāng) 時(shí), ,
所以綜上有
例4.(2008年全國一卷)設(shè)函數(shù) .數(shù)列 滿足 . .
設(shè) ，整數(shù) .證明: .
解析: 由數(shù)學(xué)歸納法可以證明 是遞增數(shù)列,
故 若存在正整數(shù) , 使 , 則 ,
若 ,則由 知 , ,
因?yàn)?,于是
例5.已知 ,求證: .
解析:首先可以證明:
所以要證
只要證:
故只要證 ,
即等價(jià)于 ,
即等價(jià)于 而正是成立的,所以原命題成立.
例6.已知 , ,求證: .
解析:
所以
從而
例7.已知 , ,求證:
證明: ,
因?yàn)?,所以
所以
二、函數(shù)放縮
例8.求證： .
解析:先構(gòu)造函數(shù)有 ,從而
cause
所以
例9.求證:(1)
解析:構(gòu)造函數(shù) ,得到 ,再進(jìn)行裂項(xiàng) ,求和后可以得到答案
函數(shù)構(gòu)造形式: ,
例10.求證:
解析:提示:
函數(shù)構(gòu)造形式:
當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮
如圖,取函數(shù) ,
首先: ,從而,
取 有, ,
所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:
另一方面 ,從而有
取 有, ,
所以有 ,所以綜上有
例11.求證: 和 .解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明
例12.求證: 解析: ,疊加之后就可以得到答案
函數(shù)構(gòu)造形式: (加強(qiáng)命題)
例13.證明:
解析:構(gòu)造函數(shù) ,求導(dǎo),可以得到:
,令 有 ,令 有 ,
所以 ,所以 ,令 有,
所以 ,所以
例14. 已知 證明 .
解析: ,
然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到
然后運(yùn)用 和裂項(xiàng)可以得到答案)
放縮思路：
。于是 ，
即
注：題目所給條 （ ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論 放縮：
即
例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù) 若
解析:設(shè)函數(shù)
∴函數(shù) ）上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.∴ 的最小值為 ，即總有
而
即
令 則
例15.(2008年廈門市質(zhì)檢) 已知函數(shù) 是在 上處處可導(dǎo)的函數(shù),若 在 上恒成立.
(I)求證：函數(shù) 上是增函數(shù)； (II)當(dāng) ；
(III)已知不等式 時(shí)恒成立，
求證：
解析:(I) ,所以函數(shù) 上是增函數(shù)
(II)因?yàn)?上是增函數(shù),所以
兩式相加后可以得到
(3)
相加后可以得到:
所以
令 ,有
所以
(方法二)
所以
又 ,所以
三、分式放縮
姐妹不等式: 和
記憶口訣”小者小,大者大”
解釋:看b,若b小,則不等號(hào)是小于號(hào),反之.
例19. 姐妹不等式: 和
也可以表示成為
和
解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì) 可得
即
例20.證明:
解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分類放縮
例21.求證:
解析:
例22.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編) 在平面直角坐標(biāo)系 中, 軸正半軸上的點(diǎn)列 與曲線 （ ≥0）上的點(diǎn)列 滿足 ，直線 在x軸上的截距為 .點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 , .
(1)證明 > >4， ; (2)證明有 ，使得對(duì) 都有 < .
解析:(1) 依題設(shè)有： ，由 得：
,又直線 在 軸上的截距為 滿足
顯然，對(duì)于 ，有
(2)證明：設(shè) ，則
設(shè) ，則當(dāng) 時(shí)，
所以，取 ，對(duì) 都有：
故有 < 成立。
例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù) ，若 的定義域?yàn)閇－1，0]，值域也為[－1，0].若數(shù)列 滿足 ，記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，問是否存在正常數(shù)A，使得對(duì)于任意正整數(shù) 都有 ？并證明你的結(jié)論。
解析:首先求出 ,∵
,故當(dāng) 時(shí), ,
因此，對(duì)任何常數(shù)A，設(shè) 是不小于A的最小正整數(shù)，
則當(dāng) 時(shí),必有 .
故不存在常數(shù)A使 對(duì)所有 的正整數(shù)恒成立.
例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?,
設(shè) 內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .設(shè) , 當(dāng) 時(shí),求證: .
解析:容易得到 ,所以,要證 只要證 ,因?yàn)?,所以原命題得證
五、迭代放縮
例25. 已知 ,求證:當(dāng) 時(shí),
解析:通過迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到結(jié)論
例26. 設(shè) ,求證:對(duì)任意的正整數(shù)k,若k≥n恒有:Sn+k－Sn<1n
解析:
又 所以
六、借助數(shù)列遞推關(guān)系
例27.求證:
解析: 設(shè) 則
,從而
,相加后就可以得到
所以
例28. 求證:
解析: 設(shè) 則
,從而
,相加后就可以得到
例29. 若 ,求證:
解析:
所以就有
七、分類討論
例30.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿足 證明：對(duì)任意的整數(shù) ，有
解析:容易得到 ,
由于通項(xiàng)中含有 ，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：
當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí)
（減項(xiàng)放縮），于是
①當(dāng) 且 為偶數(shù)時(shí)
②當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí) （添項(xiàng)放縮）由①知 由①②得證。
八、線性規(guī)劃型放縮
例31. 設(shè)函數(shù) .若對(duì)一切 ， ，求 的最大值。
解析:由 知 即
由此再由 的單調(diào)性可以知道 的最小值為 ，最大值為
因此對(duì)一切 ， 的充要條是， 即 ， 滿足約束條 ，
由線性規(guī)劃得， 的最大值為5．
九、均值不等式放縮
例32.設(shè) 求證
解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為
即
注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 ，若放成 則得 ，就放過“度”了！
②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征選取所需要的重要不等式，這里
其中， 等的各式及其變式公式均可供選用。
例33.已知函數(shù) ，若 ，且 在[0，1]上的最小值為 ，求證：
解析:
例34.已知 為正數(shù)，且 ，試證：對(duì)每一個(gè) ， .
解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，
令 ，則 = ，因?yàn)?，倒序相加得 = ，
而 ，
則 = ，所以 ，即對(duì)每一個(gè) ， .
例35.求證
解析: 不等式左 = ，
原結(jié)論成立.
例36.已知 ,求證:
解析:
經(jīng)過倒序相乘,就可以得到
例37.已知 ,求證:
解析:
其中: ,因?yàn)?/p>
所以
從而 ,所以 .
例38.若 ,求證: .
解析:
因?yàn)楫?dāng) 時(shí), ,所以 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到等號(hào).
所以
所以 所以
例39.已知 ,求證: .
解析: .
例40.已知函數(shù)f(x)=x2－(－1)k2lnx(k∈N*).k是奇數(shù), n∈N*時(shí),
求證: [f’(x)]n－2n－1f’(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得 ，
(1)當(dāng)n=1時(shí)，左式= 右式=0.∴不等式成立.
(2) , 左式=
令
由倒序相加法得：
所以
所以 綜上，當(dāng)k是奇數(shù)， 時(shí)，命題成立
例41. （2007年東北三校）已知函數(shù)
�。�1）求函數(shù) 的最小值，并求最小值小于0時(shí)的 取值范圍；
�。�2）令 求證：
★例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù) , .對(duì)任意正數(shù) ,證明： ．
解析:對(duì)任意給定的 , ,由 ,
若令 ，則 ① ,而 ②
�。ㄒ唬⑾茸C ；因?yàn)?， ， ，
又由 ，得 ．
所以
（二）、再證 ；由①、②式中關(guān)于 的對(duì)稱性，不妨設(shè) ．則
�。�?）、當(dāng) ，則 ，所以 ，因?yàn)?，
，此時(shí) ．
�。�?）、當(dāng) ③，由①得 , ， ，
因?yàn)?所以 ④
同理得 ⑤ ，于是 ⑥
今證明 ⑦, 因?yàn)?，
只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得 ．
綜上所述，對(duì)任何正數(shù) ，皆有 ．
例43.求證:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二項(xiàng)放縮
例44. 已知 證明
解析:
即
45.設(shè) ，求證：數(shù)列 單調(diào)遞增且
解析: 引入一個(gè)結(jié)論：若 則 （證略）
整理上式得 （ ）
以 代入（ ）式得
即 單調(diào)遞增。
以 代入（ ）式得
此式對(duì)一切正整數(shù) 都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有 ，又因?yàn)閿?shù)列 單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù) 有 。
注：①上述不等式可加強(qiáng)為 簡證如下：
利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮：
只取前兩項(xiàng)有 對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：
故有
�、谏鲜鰯�(shù)列 的極限存在，為無理數(shù) ；同時(shí)是下述試題的背景：已知 是正整數(shù)，且 （1）證明 ；（2）證明 （01年全國卷理科第20題）
簡析 對(duì)第（2）問：用 代替 得數(shù)列 是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列 遞減，且 故 即 。
當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求證：
解析: 因?yàn)閍+b=1,a>0,b>0,可認(rèn)為 成等差數(shù)列，設(shè) ，
從而
例47.設(shè) ，求證 .
解析: 觀察 的結(jié)構(gòu)，注意到 ，展開得
，即 ，得證.
例48.求證: . 解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!)
例42.(2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù) ，滿足：
①對(duì)任意 ，都有 ；
�、趯�(duì)任意 都有 .
�。↖）試證明： 為 上的單調(diào)增函數(shù)；
�。↖I）求 ；
�。↖II）令 ，試證明：.
解析:本題的亮點(diǎn)很多,是一道考查能力的好題.
(1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性:
因?yàn)?,所以可以得到 ,
也就是 ,不妨設(shè) ,所以,可以得到 ,也就是說 為 上的單調(diào)增函數(shù).
(2)此問的難度較大,要完全解決出需要一定的能力!
首先我們發(fā)現(xiàn)條不是很足,,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了!
由(1)可知 ,令 ,則可以得到
,又 ,所以由不等式可以得到 ,又
,所以可以得到 ①
接下要運(yùn)用迭代的思想:
因?yàn)?,所以 , , ②
在此比較有技巧的方法就是:
,所以可以判斷 ③
當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,所以還可以列項(xiàng)的方法,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出,然后就可以得到結(jié)論.
所以,綜合①②③有 =
(3)在解決 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難.
,所以數(shù)列 的方程為 ,從而 ,
一方面 ,另一方面
所以 ,所以,綜上有
例49. 已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閇0,1]，且滿足下列條：
�、� 對(duì)于任意 [0,1]，總有 ，且 ；② 若 則有
�。á瘢┣骹0的值；（Ⅱ）求證：fx≤4；
�。á螅┊�(dāng) 時(shí)，試證明： .
解析: （Ⅰ）解：令 ，由①對(duì)于任意 [0,1]，總有 ， ∴
又由②得 即 ∴
�。á颍┙猓喝稳� 且設(shè) 則
因?yàn)?，所以 ，即 ∴ .
∴當(dāng) [0,1]時(shí)， .
（Ⅲ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：
�。�1）當(dāng)n=1時(shí)， ，不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，
由
得
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式 對(duì)一切正整數(shù)都成立.
于是，當(dāng) 時(shí)， ，
而 [0,1]， 單調(diào)遞增 ∴ 所以，
例50. 已知： 求證：
解析:構(gòu)造對(duì)偶式：令
則 ＝
又 （
十一、積分放縮
利用定積分的保號(hào)性比大小
保號(hào)性是指，定義在 上的可積函數(shù) ，則 .
例51.求證： .
解析: ，∵ ，
時(shí)， ， ， ∴ ， .
利用定積分估計(jì)和式的上下界
定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它估計(jì)小矩形的面積和.
例52. 求證： ， .
解析: 考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.
如圖，顯然 -①
對(duì) 求和，
例53. 已知 .求證： .
解析:考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.
例54. （2003年全國高考江蘇卷）設(shè) ，如圖，已知直線 及曲線 ： ， 上的點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 （ ）.從 上的點(diǎn) 作直線平行于 軸，交直線 于點(diǎn) ，再從點(diǎn) 作直線平行于 軸，交曲線 于點(diǎn) . 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 .
（Ⅰ）試求 與 的關(guān)系，并求 的通項(xiàng)公式；
�。á颍┊�(dāng) 時(shí)，證明 ；
�。á螅┊�(dāng) 時(shí)，證明 .
解析: （過程略）.
證明（II）：由 知 ，∵ ，∴ .
∵當(dāng) 時(shí)， ，
證明（Ⅲ）：由 知 .
∴ 恰表示陰影部分面積，
顯然 ④
奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等”證明，如：
十二、部分放縮(尾式放縮)
例55.求證:
解析:
例56. 設(shè) 求證：
解析:
又 （只將其中一個(gè) 變成 ，進(jìn)行部分放縮）， ，
于是
例57.設(shè)數(shù)列 滿足 ，當(dāng) 時(shí)
證明對(duì)所有 有 ；
解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng) 時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng) 時(shí)成立即 ，則當(dāng) 時(shí)
，成立。
利用上述部分放縮的結(jié)論 放縮通項(xiàng)，可得
注：上述證明 用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮： ；證明 就直接使用了部分放縮的結(jié)論
十三、三角不等式的放縮
例58.求證: .
解析:(i)當(dāng) 時(shí),
(ii)當(dāng) 時(shí),構(gòu)造單位圓,如圖所示:
因?yàn)槿切蜛OB的面積小于扇形OAB的面積
所以可以得到
當(dāng) 時(shí)
所以當(dāng) 時(shí) 有
(iii)當(dāng) 時(shí), ,由(ii)可知:
所以綜上有
十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式
(i)同側(cè)加強(qiáng)
對(duì)所證不等式的同一方向(可以是左側(cè),也可以是右側(cè))進(jìn)行加強(qiáng).如要證明 ,只要證明 ,其中 通過尋找分析,歸納完成.
例59.求證:對(duì)一切 ,都有 .
解析:
從而
當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如:
所以 .
(ii)異側(cè)加強(qiáng)(數(shù)學(xué)歸納法)
(iii)雙向加強(qiáng)
有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況,這時(shí),不妨”返璞歸真”,通過雙向加強(qiáng)還原其本面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為:
欲證明 ,只要證明: .
例60.已知數(shù)列 滿足: ,求證:
解析: ,從而 ,所以有
,所以
又 ,所以 ,所以有
所以
所以綜上有
引申:已知數(shù)列 滿足: ,求證: .
解析:由上可知 ,又 ,所以
從而
又當(dāng) 時(shí), ,所以綜上有 .
同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數(shù)列 , , , .
記 , .求證:當(dāng) 時(shí).
(1) ; (2) ; ★(3) .
解析:(1) ,猜想 ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(i)當(dāng) 時(shí), ,結(jié)論成立;
(ii)假設(shè)當(dāng) 時(shí), ,則 時(shí),
從而 ,所以
所以綜上有 ,故
(2)因?yàn)?則 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以
,所以
(3)因?yàn)?,從而 ,有 ,所以有
,從而
,所以
,所以
所以綜上有 .
例61.(2008年陜西省高考試題)已知數(shù)列 的首項(xiàng) , , ．
(1)證明:對(duì)任意的 , , ;
(2)證明: .
解析:(1)依題,容易得到 ,要證 , , ,
即證
即證 ,設(shè) 所以即證明
從而 ,即 ,這是顯然成立的.
所以綜上有對(duì)任意的 , ,
(法二)
, 原不等式成立．
(2)由(1)知，對(duì)任意的 ，有
取 ，
則 ．
原不等式成立．
十四、經(jīng)典題目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函數(shù) .若 在區(qū)間 上的最小值為 ,
令 .求證: .
證明:首先:可以得到 .先證明
(方法一) 所以
(方法二)因?yàn)?,相乘得:
,從而 .
(方法三)設(shè)A= ,B= ,因?yàn)锳<B,所以A2<AB,
所以 , 從而 .
下面介紹幾種方法證明
(方法一)因?yàn)?,所以 ,所以有
(方法二) ,因?yàn)?,所以
令 ,可以得到 ,所以有
(方法三)設(shè) 所以 ,
從而 ,從而
又 ,所以
(方法四)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(i)當(dāng) 時(shí),左邊= ,右邊= 顯然不等式成立;
(ii)假設(shè) 時(shí), ,則 時(shí), ,
所以要證明 ,只要證明 ,這是成立的.
這就是說當(dāng) 時(shí),不等式也成立,所以,綜上有
探究2.(2008年全國二卷)設(shè)函數(shù) .如果對(duì)任何 ，都有 ，求 的取值范圍．
解析:因?yàn)?,所以
設(shè) ,則 ,
因?yàn)?,所以
(i)當(dāng) 時(shí), 恒成立,即 ,所以當(dāng) 時(shí), 恒成立.
(ii)當(dāng) 時(shí), ,因此當(dāng) 時(shí),不符合題意.
(iii)當(dāng) 時(shí),令 ，則 故當(dāng) 時(shí), .
因此 在 上單調(diào)增加.故當(dāng) 時(shí), ,
即 .于是，當(dāng) 時(shí)，
所以綜上有 的取值范圍是
變式：若 ,其中
且 , ,求證:
證明：容易得到
由上面那個(gè)題目知道
就可以知道
★同型衍變:(2006年全國一卷)已知函數(shù) .若對(duì)任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍.
解析:函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-∞, 1)∪(1, +∞), 導(dǎo)數(shù)為 .
(?) 當(dāng)0< a≤2時(shí), f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1) 為增函數(shù), 故對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時(shí)a滿足要求.
(?) 當(dāng)a>2時(shí), f (x) 在區(qū)間 (- , )為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點(diǎn), 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而這時(shí)a不滿足要求.
(?) 當(dāng)a≤0時(shí), 對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有
≥ , 這時(shí)a滿足要求.
綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.
2016屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)函數(shù)及其表示法提綱專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案
2011-2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案
1.函數(shù)及其表示法
導(dǎo)學(xué)提綱
1、你知道本節(jié)考綱的具體要求是什么？重點(diǎn)是什么？
2.試解讀一下函數(shù)的概念
�、贁⑹鲆幌潞瘮�(shù)的定義，找一找關(guān)鍵詞
�、诜�(hào) 的含義是
③函數(shù)的定義域是什么？有幾種形式？
�、芎瘮�(shù)的值域是什么？你知道基本初等函數(shù)的定義域和值域嗎？
�、莺瘮�(shù)的三要素是什么？如何理解兩個(gè)相同的函數(shù)？
⑥如何用函數(shù)的觀點(diǎn)理解函數(shù)的圖像？
�、咴鯓永斫鈴�(fù)合函數(shù)?舉例說明。
[:學(xué)科網(wǎng)]
⑧怎樣理解分段函數(shù)？
3、表示函數(shù)的常用方法是什么？
4、映射的概念是什么？怎樣理解映射與函數(shù)的關(guān)系？
堂問題導(dǎo)學(xué)
1、 是一個(gè)函數(shù)嗎？
2、若 是一個(gè)函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。
考向一：函數(shù)概念的理解和應(yīng)用
例1、設(shè) ， ，在下列各圖中能表示從集合A到集合B的映射是（ ），從A到B的函數(shù)是（ ）
A B C
D E
例2．設(shè) A= ，B= ，從A到B 的函數(shù)有多少個(gè)？
又設(shè) ，從A到B 的函數(shù)是唯一的嗎？
考向二：求函數(shù)的定義域
1.求 定義域；
2.已知 的定義域?yàn)?，求 定義域；
3.已知 定義域?yàn)?，求函數(shù) 的定義域。
考向三。分段函數(shù)求值
例1、設(shè) ，則 =＿＿
例2、以知 則 ＿＿
考向四。求函數(shù)解析式
例1、①設(shè) 滿足 ，則 =
�、谠O(shè) ，，則 =
③設(shè) ，則 =
④設(shè) ，則 =
例2、已知 是二次函數(shù)，且滿足條： 且 ，
試求 的解析式。
四、時(shí)小結(jié)：
通過本節(jié)學(xué)習(xí),掌握：1. 函數(shù)概念2. 根據(jù)“對(duì)應(yīng)法則”求函數(shù)值3. 求解析式的方法
五、思考題：
1、已知 ，集合 ，集合 ，
若 ，求B。
2、已知 滿足 ，且 ， ,則 ＿＿＿， ＿＿＿
3、設(shè) ，，P 為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定 ， ，則以下四個(gè)命題中正確的是：（ ）
�、偃� ； ②若
③若 ； ④若
4、已知 是三次函數(shù)，且滿足下列條：
（1）函數(shù) 圖象過原點(diǎn)；（2） ；（3）過點(diǎn) 的直線的傾角為 ；試求 的解析式。
5、設(shè) ， 都是定義在R上的函數(shù)，且方程 ，有實(shí)數(shù)解，那么 不可能是（）[:學(xué)科網(wǎng)ZXX]
A、 B、 C、 D、
六、后作業(yè): 附板書設(shè)計(jì)：
一、函數(shù)概念：
�、� 對(duì)應(yīng)
映射
任意
2.函數(shù)
�、偃我�
�、谟浱�(hào)
�、酆営�
對(duì)應(yīng)形式：多對(duì)一，一對(duì)多。
例1 例2
3. 函數(shù)三要素：①定義域：A（非空、數(shù)集、優(yōu)先）
�、趯�(duì)應(yīng)法則： ［“加工” “產(chǎn)出”］
�、壑涤颍�
“ ” 的作用
① “加工”
�、凇吧罴庸ぁ�
�、邸胺侄渭庸ぁ� 分段函數(shù)
�、軟Q定函數(shù)性質(zhì)
二、根據(jù)“對(duì)應(yīng)法則”求函數(shù)值
例3 、例4
三、求解析式的若干方法
�、贀Q元法：整體換元、配湊換元 例5
②方程組法 例5
�、鄞ㄏ禂�(shù)法 例6
堂總結(jié)
不等式的解法
6.5 不等式的解法（二）
●知識(shí)梳理
1.x＞a x＞a或x＜－a（a＞0）；
x＜a －a＜x＜a（a＞0）.
2.形如x－a+x－b≥c的不等式的求解通常采用“零點(diǎn)分段討論法”.
3.含參不等式的求解，通常對(duì)參數(shù)分類討論.
4.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：
a－b≤a±b≤a+b.
思考討論
1.在x＞a x＞a或x＜－a（a＞0）、x＜a －a＜x＜a（a＞0）中的a＞0改為a∈R還成立嗎?
2.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)中等號(hào)成立的條是什么?
●點(diǎn)擊雙基
1.設(shè)a、b是滿足ab＜0的實(shí)數(shù)，那么
A.a+b＞a－b
B.a+b＜a－b
C.a－b＜a－b
D.a－b＜a+b
解析：用賦值法.令a=1，b=－1，代入檢驗(yàn).
答案：B
2.不等式2x2－1≤1的解集為
A.{x－1≤x≤1}B.{x－2≤x≤2}
C.{x0≤x≤2}D.{x－2≤x≤0}
解析：由2x2－1≤1得－1≤2x2－1≤1.
∴0≤x2≤1，即－1≤x≤1.
答案：A
3.不等式x+log3x＜x+log3x的解集為
A.（0，1）B.（1，+∞）
C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）
解析：∵x＞0，x與log3x異號(hào)，
∴l(xiāng)og3x＜0.∴0＜x＜1.
答案：A
4.已知不等式a≤ 對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立，則a的取值范圍是____________.
解析：要使a≤ 對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立，
令t=x＞0，則a≤ .
而 ≥ =2 ，
∴a≤2 .
答案：a≤2
5.已知不等式2x－t+t－1＜0的解集為（－ ， ），則t=____________.
解析：2x－t＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，
2t－1＜2x＜1，t－ ＜x＜ .
∴t=0.
答案：0
●典例剖析
【例1】 解不等式2x+1+x－2＞4.
剖析：解帶絕對(duì)值的不等式，需先去絕對(duì)值，多個(gè)絕對(duì)值的不等式必須利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值求解.令2x+1=0，x－2=0，得兩個(gè)零點(diǎn)x1=－ ，x2=2.
解：當(dāng)x≤－ 時(shí)，原不等式可化為
－2x－1+2－x＞4，
∴x＜－1.
當(dāng)－ ＜x≤2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+2－x＞4，
∴x＞1.又－ ＜x≤2，
∴1＜x≤2.
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+x－2＞4，∴x＞ .
又x＞2，∴x＞2.
綜上，得原不等式的解集為{xx＜－1或1＜x}.
深化拓展
若此題再多一個(gè)含絕對(duì)值式子.如：
2x+1+x－2+x－1＞4，你又如何去解？
分析：令2x+1=0，x－2=0，x－1=0，
得x1=－ ，x2=1，x3=2.
解：當(dāng)x≤－ 時(shí)，原不等式化為
�。�2x－1+2－x+1－x＞4，∴x＜－ .
當(dāng)－ ＜x≤1時(shí)，原不等式可化為
2x+1+2－x+1－x＞4，4＞4（矛盾）.
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+2－x+x－1＞4，∴x＞1.
又1＜x≤2，
∴1＜x≤2.
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+x－2+x－1＞4，∴x＞ .
又x＞2，∴x＞2.
綜上所述，原不等式的解集為{xx＜－ 或x＞1}.
【例2】 解不等式｜x2－9｜≤x＋3.
剖析：需先去絕對(duì)值，可按定義去絕對(duì)值，也可利用x≤a －a≤x≤a去絕對(duì)值.
解法一：原不等式 （1） 或（2）
不等式（1） x＝－3或3≤x≤4；
不等式（2） 2≤x＜3.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
解法二：原不等式等價(jià)于
或x≥2 x=－3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
【例3】 （理）已知函數(shù)f（x）=xx－a（a∈R）.
�。�1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≥2a2.
解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，
f（－x）=－x－x=－xx=－f（x），
∴f（x）是奇函數(shù).
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0且f（－a）=－2aa.
故f（－a）≠f（a）且f（－a）≠－f（a）.
∴f（x）是非奇非偶函數(shù).
�。�2）由題設(shè)知xx－a≥2a2，
∴原不等式等價(jià)于 ①
或 ②
由①得 x∈ .
由②得
當(dāng)a=0時(shí)，x≥0.
當(dāng)a＞0時(shí)，
∴x≥2a.
當(dāng)a＜0時(shí)，
即x≥－a.
綜上
a≥0時(shí)，f（x）≥2a2的解集為{xx≥2a}；
a＜0時(shí)，f（x）≥2a2的解集為{xx≥－a}.
�。ǎ┰O(shè)函數(shù)f（x）=ax+2，不等式 f（x）＜6的解集為（－1，2），試求不等式 ≤1的解集.
解：ax+2＜6，
∴（ax+2）2＜36，
即a2x2+4ax－32＜0.
由題設(shè)可得
解得a=－4.
∴f（x）=－4x+2.
由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.
解得x＞ 或x≤ .
∴原不等式的解集為{xx＞ 或x≤ }.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.已知集合A={xa－1≤x≤a+2}，B={x3＜x＜5}，則能使A B成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.{a3＜a≤4}B.{a3≤a≤4}
C.{a3＜a＜4}D.
解析：由題意知 得3≤a≤4.
答案：B
2.不等式x2+2x＜3的解集為____________.
解析：－3＜x2+2x＜3，即
∴－3＜x＜1.
答案：－3＜x＜1
3.不等式x+2≥x的解集是____________.
解法一：x+2≥x （x+2）2≥x2 4x+4≥0 x≥－1.
解法二： 在同一直角坐標(biāo)系下作出f（x）=x+2與g（x）=x的圖象，根據(jù)圖象可得x≥－1.
解法三：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，不等式x+2≥x表示數(shù)軸上x到－2的距離不小于到0的距離，∴x≥－1.
答案：{xx≥－1}
評(píng)述：本題的三種解法均為解絕對(duì)值不等式的基本方法，必須掌握.
4.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解關(guān)于x的不等式a ＜ax－2.
解：由0＜a＜1，原不等式可化為 ＞x－2.
這個(gè)不等式的解集是下面不等式組①及②的解集的并集. ①
或 ②
解不等式組①得解集為{x ≤x＜2}，
解不等式組②得解集為{x2≤x＜5}，
所以原不等式的解集為{x ≤x＜5}.
5.關(guān)于x的方程3x2－6（m－1）x+m2+1=0的兩實(shí)根為x1、x2，若x1+x2=2，求m的值.
解：x1、x2為方程兩實(shí)根，
∴Δ=36（m－1）2－12（m2+1）≥0.
∴m≥ 或m≤ .
又∵x1x2= ＞0，∴x1、x2同號(hào).
∴x1+x2=x1+x2=2m－1.
于是有2m－1=2，∴m=0或2.
∴m=0.
培養(yǎng)能力
6.解不等式 ≤ .
解：（1）當(dāng)x2－2＜0且x≠0，即當(dāng)－ ＜x＜ 且x≠0時(shí)，原不等式顯然成立．
�。�2）當(dāng)x2－2＞0時(shí)，原不等式與不等式組 等價(jià)．
x2－2≥｜x｜，即｜x｜2－｜x｜－2≥0.
∴｜x｜≥2.∴不等式組的解為｜x｜≥2，
即x≤－2或x≥2．
∴原不等式的解集為（－∞，－2］∪（－ ，0）∪（0， ）∪［2，＋∞）．
7.已知函數(shù)f（x）= 的定義域恰為不等式log2（x+3）+log x≤3的解集，且f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：由log2（x+3）+log x≤3得
x≥ ，
即f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.
∵f（x）在定義域［ ，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x2＞x1≥ 時(shí)，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即有（ax1－ +2）－（ax2－ +2）＞0 a（x1－x2）－（ － ）＞0
�。▁1－x2）（a+ ）＞0恒成立.
∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+ ）＞0
a+ ＜0.
∵x1x2＞ － ＞－ ，
要使a＜－ 恒成立，
則a的取值范圍是a≤－ .
8.有點(diǎn)難度喲！
已知f（x）=x2－x+c定義在區(qū)間［0，1］上，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2，求證：
�。�1）f（0）=f（1）；
�。�2） f（x2）－f（x1）＜x1－x2；
�。�3） f（x1）－f（x2）＜ ；
（4） f（x1）－f（x2）≤ .
證明：（1）f（0）=c，f（1）=c，
∴f（0）=f（1）.
�。�2） f（x2）－f（x1）=x2－x1x2+x1－1.
∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）.
∴－1＜x1+x2－1＜1.
∴ f（x2）－f（x1）＜x2－x1.
�。�3）不妨設(shè)x2＞x1，由（2）知
f（x2）－f（x1）＜x2－x1.①
而由f（0）=f（1），從而
f（x2）－f（x1）= f（x2）－f（1）+f（0）－f（x1）≤ f（x2）－f（1）+ f（0）－
f（x1）＜1－x2+x1＜1－x2+x1.②
①+②得2 f（x2）－f（x1）＜1，
即 f（x2）－f（x1）＜ .
�。�4）f（x2）－f（x1）≤fmax－fmin=f（0）－f（ ）= .
探究創(chuàng)新
9.（1）已知a＜1，b＜1，求證： ＞1；
（2）求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使不等式 ＞1對(duì)滿足a＜1，b＜1的一切實(shí)數(shù)a、b恒成立；
（3）已知a＜1，若 ＜1，求b的取值范圍.
�。�1）證明：1－ab2－a－b2=1+a2b2－a2－b2=（a2－1）（b2－1）.
∵a＜1，b＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.
∴1－ab2－a－b2＞0.
∴1－ab＞a－b，
= ＞1.
（2）解：∵ ＞1 1－abλ2－aλ－b2=（a2λ2－1）（b2－1）＞0.
∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0對(duì)于任意滿足a＜1的a恒成立.
當(dāng)a=0時(shí)，a2λ2－1＜0成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，要使λ2＜ 對(duì)于任意滿足a＜1的a恒成立，而 ＞1，
∴λ≤1.故－1≤λ≤1.
（3） ＜1 （ ）2＜1 （a+b）2＜（1+ab）2 a2+b2－1－a2b2＜0 （a2－1）（b2－1）＜0.
∵a＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.
●思悟小結(jié)
1.解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對(duì)值.常用的方法是：（1）由定義分段討論；（2）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；（3）平方.
2.解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類討論.注意：（1）要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?（2）用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏.
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.絕對(duì)值是歷年高考的重點(diǎn)，而絕對(duì)值不等式更是常考常新.在教學(xué)中要從絕對(duì)值的定義和幾何意義分析，絕對(duì)值的特點(diǎn)是帶有絕對(duì)值符號(hào)，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)，一定要教給學(xué)生方法，切不可以題論題.
2.無理不等式在新程書本并未出現(xiàn)，但可以利用不等式的性質(zhì)把其等價(jià)轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.
3.指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式能利用單調(diào)性求解.
拓展題例
【例1】 設(shè)x1、x2、y1、y2是實(shí)數(shù)，且滿足x12+x22≤1，證明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
分析：要證原不等式成立，也就是證（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.
證明：（1）當(dāng)x12+x22=1時(shí)，原不等式成立.
�。�2）當(dāng)x12+x22＜1時(shí)，聯(lián)想根的判別式，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判別式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
由題意x12+x22＜1，函數(shù)f（x）的圖象開口向下.
又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，
因此拋物線與x軸必有公共點(diǎn).
∴Δ≥0.
∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，
即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
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