高考數學考查重點函數問題

　　函數在高中數學教學中占的比重大，是高考考查的重點，每年單純考函數(這里不包括三角比和三角函數)分值一般在30分左右，還有在其他內容的考查中也涉及到函數思想的運用。

　　近四年高考分析

　　函數教材內容包括三個方面：函數的相關概念和函數運算；函數基本性質；基本初等函數的圖像和性質。高考的考試要求也可分三種類型：某個具體函數或某種函數性質的簡單考查；函數性質的綜合問題；函數思想及其函數建模應用。

　　從近幾年試卷分析來看，綜合考查函數的性質，特別是函數的奇偶性和單調性，強調代數論證能力；除2009年外，反函數每年必考，但要求不高；重點考查數形結合和分類討論思想；函數與方程思想、恒成立問題也是高考對函數的考查要求。

　　復習設想與建議

　　考生在后期函數復習中，要回歸課本，掌握教材的基本要求。此外，在平時練習和考試中，解答與函數有關的問題 ，最好先明確問題中函數的基本要素和考查的內容，分析已知與求解中所涉及的函數性質，然后按照要求進行論證和求解。

　　1. 正確理解函數及其相關概念：

　　(1)定義域、值域的求解(用集合表示，注意函數運算以及實際問題的定義域)。

　　(2)函數的三種表示方法。如列表法

　　例如：已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分數值如下(見表二)

　　則函數y=lg f(x)的定義域

　　(3)對分段函數的認識，會用分類討論的思想研究函數的最值、奇偶性和單調性等性質。

　　(4)函數的和、積運算可以幫助認識一些復雜函數，如研究兩個具有奇偶性或單調函數的運算構成的新函數性質研究。

　　例如：研究函數f(x)=--log2 -的奇偶性和單調性，可分別對-和-log2-的性質進行研究(注意：函數的定義域(-1,0)U(0,1))。

　　2. 掌握函數的性質和圖像特征：對每條性質，最好能完整復述教材中的定義，能從正反兩方面給出具體函數性質的判斷和證明，能記住有關函數性質相互之間的聯系結論(如具有奇偶性的函數在對稱區間的單調性)，能從圖像的高度認識函數的性質，并熟知常見的函數圖像變換。

　　能非常熟悉地寫出基本初等函數的所有性質，通過舉反例證明函數不具有奇偶性，利用函數的奇偶性做出函數的圖像；利用配方法、單調性和基本不等式等方法求函數的最值，特別要掌握二次函數在閉區間的最值問題；關于零點可通過二分法找到根所在區域，用函數圖像確定零點個數。解決函數問題時，重在分析問題的條件和結論，看能否用函數有關概念解釋并轉化求解。

　　3. 會作出一次函數、二次函數和反比例函數以及冪、指對數函數的圖像，結合圖像理解函數的性質，并在實際問題中會用初等函數的性質解決問題，利用指數函數和對數函數互為反函數的關系。

　　例如：已知函數f(x)=x3+x。

　　(1)試求出函數y=f(x)的零點，并作出圖像。

　　(2)是否存在自然數n使得f(n)=1000 ，若存在，求出n；若不存在，請說明理由。

　　4. 指、對數運算(指數式與對數式互化)和指、對數方程的求解。(對數方程的驗根問題)

　　5. 研究性問題：

　　近幾年高考和調研卷中出現學習型問題，如下列問題：f(x+T)=Tf(x)，f(-x)=af(x)+b，實際上是函數性質的拓展，試題來源分別是函數的周期性和函數的奇偶性，常為壓軸題，命題一般從特殊入手，如f(x+T)=Tf(x)，問題1：函數f(x)=x是否滿足上述性質？即x+T=Tx對x∈R是否成立？只需取x=0即可否定。考生在處理這類問題時，要與學過的函數性質聯系，也可借助圖像入手。

　　6. 數學思想：

　　(1)在解決函數問題時，有時需要結合函數的圖像(不代替證明)；分類討論時要確定分類標準，遵循不重不漏的原則。

　　(2)函數方程思想可解決下列問題：①方程有解可通過變量分離轉化為求函數值域；②方程的根的個數可化歸為兩個函數的圖像的交點個數。

　　(3)恒成立問題：通過變量分離或轉化為一元函數，轉化為求函數的最值問題。

　　(4)通過取對數實現乘法運算轉化為加法運算，化復雜的運算為簡單的運算；作圖時，要了解指數函數、冪函數和線性函數增長的快慢(如方程x2=2x的解的個數問題)。

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